" Н а у к а м о л о д ы х " , 3 0 - 3 1 м а р т а 2 0 1 7 г . , А р з а м а с
П о с в я щ а е т с я 1 0 0 - л е т и ю Р о с т и с л а в а Е в г е н ь е в и ч а А л е к с е е в а
524
Для любой матрицы A матрица A+ является псевдообратной в том случае,
если выполняются следующие условия:
(1)
Общий порядок нахождения псевдообратной матрицы следующий.
Пусть заданы матрицы
С
и
В
, матрица
С
имеет размерность
r×n
,
r<n
и
C
)=r
. Тогда
C
+
=
C
T
(
CC
T
)
-1
.
Пусть матрица
B
имеет размерность
m×r
,
m>r
и
rank(
B
)=r
. Тогда имеем
B
+
=(
B
T
B
)
-1
B
T
.
Для произвольной матрицы
A
порядка
m×n
и ранга
r
псевдообратную
матрицу
A
+
можно получить следующим образом:
1) выполнить
матрицы
A
:
A
=
BC
,где
B
– m×r
матрица,
rank(
B
)=r
,
C
– rxn
матрица,
rank(
C
)=r
.
2) вычислить матрицы
С
+
и
B
+
:
C
+
=
C
T
(
CC
T
)
-1
,
B
+
=(
B
T
B
)
-1
B
T
.
3) псевдообратная матрица
A
+
вычисляется из следующего выражения:
A
+
=(
BC
)
+
=
C
+
B
+
.
Отметим, что если матрица
A
имеет размерность
n×n
и
rank(
A
)=n
, то
выполняется условие
A
+
=
A
-1
.
Найденные решения характеризуются следующими свойствами: решение
x
имеет норму norm(
x
), которая минимальна в сравнении с нормой любого
другого решения; решение
y
имеет минимальное количество ненулевых
компонентов.Подставляя
A
и
A
+
в уравнения (1), можно убедиться, что
A
+
является псевдообратной к
A
матрицей.
Рассмотрим пример решения системы линейных уравнений с помощью
псевдообратной матрицы.Пусть имеется система линейных уравнений:
A
x=b
, (2)
где
A
- m
×
n
- матрица,
x
∈
R
n
,
b
∈
R
m
.
Найдем решение системы (2), если оно существует. Для этого представим
выражение (2) в следующем виде:
