272
L
– расстояние между осью маятника и центром его масс;
J
– момент инерции маятника относительно центра масс;
( )
tu
– сила, прикладываемая к тележке (управление);
( )
tx
– координата тележки;
( )
t
ϕ
– угол отклонения маятника от вертикали.
Рассматривая отдельно маятник и тележку (рис. 30.2), запишем уравнения
их движения.
Рис. 30.2. Силы, действующие на перевернутый маятник
Поскольку тележка может двигаться только по горизонтальной плоскости
достаточно рассмотреть проекции действующих на нее сил на ось
x
. Итак, для
системы справедливы следующие уравнения:
( )
( )
( )
2
2
[
]
,
dm x t
Lsin t
H t
dt
ϕ
−
=
(30.1)
( )
( )
2
2
[
]
,
dm Lcos t
V t mg
dt
ϕ
= −
(30.2)
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
,
d t
J
LH t cos t
LV t sin t
dt
ϕ
ϕ
ϕ
=
+
(30.3)
( ) ( )
( )
( )
.
2
2
dt
tdxF tH tu
dt
txdM
− − =
(30.4)
где
H
(
t
) – горизонтальная сила реакции на оси маятника,
V
(
t
) – вертикальная
сила реакции на оси маятника,
g
– ускорение свободного падения.
Раскрывая скобки в уравнениях (30.1) и (30.2), получим:
( )
2
,
mx mL sin mL cos H t
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+
−
=
(30.5)
( )
2
.
mL cos mL sin V t mg
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
−
−
= −
(30.6)
