ТЕПЛОФИЗИКА И ОСНОВЫ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКОЙ
ТЕПЛОТЕХНИКИ
139
Связывая значения
∆τ
и
∆
x
выражением 2
а
∆τ
=
∆
2
x
, получим для
определения
t
(
n
+1)
∆τ
;
m
∆
x
простую формулу
t
n
∆τ
;(
m
+1)
∆
x
= 0,5 (
t
n
∆τ
;(
m
+1)
∆
x
+
t t
n
∆τ
;(
m
-1)
∆
x
).
(6.99)
Уравнение (6.99) связывает температуру в какой-то точке пластины в
данный момент времени (
n
+1)
∆τ
с температурами соседних точек в
предыдущий момент –
n
∆τ
. Для определения температур поверхностей
пластины это уравнение неприменимо, так как с поверхностью соприкасается
другая среда.
Уравнение изменения температуры поверхности во времени должно быть
задано или температуру поверхности можно найти, решая совместно уравнение
теплоотдачи от поверхности и уравнение для теплового потока через первый
слой от поверхности.
Если принять закон передачи тепла на поверхность (или с поверхности)
q
=
α
л+к
(
t
c
–
t
n
∆τ
; 0
∆
x
),
t
c
– температура окружающей среды, то для определения
температуры поверхности
t
n
∆τ
; 0
∆
x
будем иметь выражение
х
t
хt
t
х
n
х
n
∆ +
+ ∆
=
+
∆ ∆
+
∆ ∆
кл
c
кл
α
λ
λ
α
τ
τ
1;
0;
.
(6.100)
Разностная схема (6.98) называется явной, так как температура в момент
τ
= (
n
+ 1)
∆τ
определяется по этой формуле через момент
n
∆τ
. Кроме явных
разностных схем, существуют так называемые неявные разностные схемы.
Для уравнения (6.6) неявная разностная схема имеет вид:
(
)
.
2
2
; )1 (
)1 (;
)1 (; )1 (
;
; )1 (
x
t
t
ta
t
t
xm n
x m n
x m n
xm n xm n
∆
+
−
=
∆
−
∆ ∆+
∆+ ∆
∆+ ∆+
∆ ∆
∆ ∆+
τ
τ
τ
τ
τ
τ
(6.101)
Исследования показывают, что вычислительная схема (6.93) устойчива, т.е.
ошибки неточного задания начальных данных и вычислительные ошибки не
возрастают при увеличении, если выполняется условие
(
∆
x
)
2
/(
a
∆τ
)
≥
2.
(6.102)
Уравнение типа (6.101) решается труднее, чем (6.93), так как в него входят
неизвестные температуры в трех точках (
n
- 1,
m
+ 1); (
n
,
m
+ 1); (
n
+ 1,
m
).
Поэтому нужно в этом случае решать сразу всю систему разностных уравнений
типа (6.101) для всех точек сетки. Одним из самых распространенных методов
решения неявных систем типа (6.101) является метод прогонки. Неявные
разностные схемы являются абсолютно устойчивыми, т.е. вычислительные
ошибки в этих схемах не возрастают при любом соотношении шагов по
времени и пространству. Это позволяет выбирать шаг по времени большим, чем
в явных схемах. Решения двухмерных и трехмерных вариантов уравнения
теплопроводности приводятся в специальной литературе.
