ТЕПЛОФИЗИКА И ОСНОВЫ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКОЙ
ТЕПЛОТЕХНИКИ
132
∫
−
+ + =
z
п
н
п
0
2
5,0
)
exp(
2)
(
dz z
t t
t t
π
(6.77)
или
),
2 ()
(
a
п
н
п
xf t t
t t
+ + =
(6.78)
где
t
п
и
t
н
– температуры поверхности тела и начальная нагревающей среды;
∫
−
=
=
z
0
2
5,0
)
exp(
2 ) 2/ (
dz z
a xf z
π
– интеграл Гаусса или функция Крампа (рис. 6.25).
Рис. 6.25. График значений интеграла ошибок Гаусса
) 2/ (
a xf
для различных значений аргумента
a x
2/
Уравнение (6.78) определяет зависимость температуры от времени
τ
и
координаты
х
. Величина плотности теплового потока
,
) 4/
exp( )
(
)
)( 4/
exp( )
(
/
5,0
2
5,0
2
−
−
−
− =
=
−
− =
−=
π
τ
τ
π
τ
λ
λ
a x
t tв
a a x
t t
dx dt
q
н
п
н
п
(6.79)
где
ρλ=
С в
– коэффициент аккумуляции тепла (термоинерции), кДж/м
2
с
0,5
К.
Решение одномерного уравнения Фурье для пластины бесконечной
протяженности (рис. 6.26) при начальных
τ
= 0,
t
=
t
н
= const и граничных
условиях
х
=
±
S
, (
t
=
t
н
= const) выражают следующим бесконечным рядом:
[
]
. ...
2/ 3 cos )4/
9 exp( )3/1(
2/
cos )4/
exp(
4)
(
2
2
1
+
−
−
−
−
− − =
−
S x
F
S x
F
t t
t t
π
π
π
π
π
o
o
н
п
п
(6.80)
Для центра пластины при
х
/
S
= 0
).
()
(
o
н
п
п
ц
Ff t t
t f
− − =
(6.81)
Комплекс величин
а
τ
/
S
2
=
F
o
носит название числа подобия Фурье и
характеризует подобие при распространении тепла внутри тела
(относительное время).
.
)
/()
( ) (
θ
= −
− =
н
п
ц
п
o
t t
t t
Ft
(6.82)
Значение (
F
о
) можно взять из графика на рис. 6.27, на котором приведены
также значения функций, определяющих температуру центра цилиндра и шара
при мгновенном подъеме температуры поверхности.
