229
ГЛАВА 25. РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ОДУ)
25. 1. Определение ОДУ
Дифференциальным уравнением n-го порядка
называется соотношение
вида
0 )
, , , ,(
) (
=
′′ ′
n
x xxxtH
.
(25.1)
Решением
дифференциального уравнения является функция
x
(
t
), которая
обращает уравнение в тождество.
Системой дифференциальных уравнений n-го порядка
называется система
вида:
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
x xxt f
x
x xxt f
x
x xxt f
x
,...,
, ,
,...,
, ,
,...,
, ,
2 1
2 1
2
2
2 1
1
1
=′
=′
=′
.
(25.2)
Решение системы
– вектор который обращает уравнения системы (25.2) в
тождества:
( )
( )
( )
( )
=
tx
tx
tx
tx
n
2
1
.
(25.3)
Дифференциальные уравнения и системы имеют бесконечное множество
решений, которые отличаются друг от друга константами. Для однозначного
определения решения требуется задать дополнительные
начальные
или
граничные
условия
. Количество таких условий должно совпадать с порядком
дифференциального уравнения или системы. В зависимости от вида
дополнительных условий в дифференциальных уравнениях различают:
задачу
Коши
– все дополнительные условия заданы в одной (чаще начальной) точке
интервала;
краевую задачу
– дополнительные условия указаны на границах
интервала.
Большое количество уравнений может быть решено точно. Однако есть
уравнения, а особенно системы уравнений, для которых точное решение
записать нельзя. Такие уравнения и системы решают при помощи численных
методов. Так же численные методы применяют, если для уравнений с
известным аналитическим решением требуется найти числовое значение при
определенных исходных данных.
25. 2. Решатели ОДУ
Для решения дифференциальных уравнений и систем в Scilab
предусмотрена функция:
