Пр о ц е с с о р TMS 3 2 0C4 x
99
2.6. Вычисление элементарных функций
2.6.1. Оценка погрешности вычислений
Если - точное значение некоторой величины, а - известное прибли-
жение к нему, то абсолютной погрешностью приближения
a
называют обычно
некоторую величину
, про которую известно, что она удовлетворяет нера-
венству
a
0
a
*
*
Δ
a
a a a
*
− ≤
0
Δ
. Относительной погрешностью называют некоторую ве-
личину
, про которую известно, что она удовлетворяет неравенству
δ
a
a
δ
a
a a
−
*
0
*
≤
. Относительную погрешность часто выражают в процентах. Она
дает более точное представление о величине ошибки, содержащейся в некото-
рой величине.
Погрешности представления чисел.
Погрешности представления чисел
в ЭВМ связаны с конечной длиной разрядной сетки и формой представления
чисел - с фиксированной или плавающей точкой.
Фиксированная точка (ФТ).
В процессорах с ФТ и длиной разрядной
сетки
n
при оптимальном способе округления абсолютная погрешность посто-
янна и не превышает половины единицы младшего разряда
. Минималь-
ная и максимальная относительные погрешности:
Δ ≤
−
2
1
2 2
1
1 2
2
1
1
min
−
=
+
n
δ
−
=
−
n
,
2
1
1
2
1
max
= =
−
δ
. Отсюда следует, что величина относительной погрешности
сильно зависит от величины самого числа. Наименьшая относительная погреш-
ность представления чисел с ФТ достигается в случае, если число близко к мак-
симальному по абсолютному значению.
Плавающая точка.
Если число с плавающей точкой представляется
p
разрядами порядка и
m
разрядами матиссы, то абсолютная погрешность при оп-
тимальном способе округления мантиссы будет изменяться от
до
, где
- минимальный, а
Δ
min
(
)
= ⋅
− +
2 2
1
n
m
p
Δ
max
(
= ⋅
− +
2 2
1
k
m
)
)
n
p
=
− −
2
1 (
k
=
−
−
2
1
1 (
)
- макси-
мальный порядки числа. Относительные погрешности
δ
min
=
−
≈
+
+
1
2 1
1
2
1
1
m
m
и
δ
max
=
1
2
m
.
Погрешности арифметических операций.
Пусть
(
)
y f x x x
n
=
1 2
, ,... ,
не-
прерывно дифференцируемая функция,
- приближенные значения ее аргу-
ментов, для которых
x
i
*
x x
x
i
i
− ≤
*
Δ
i
-известные абсолютные погрешности. Для
I...,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98 100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,...186