Стр. 64 - СБОРНИК ЗАДАЧ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
64
4. ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ С ПРИМЕНЕНИЕМ
МЕТОДА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ
Под геометрическим местом точек или прямых пространства понимается
множество точек или прямых, удовлетворяющих определенному условию.
Приведем примеры некоторых геометрических мест.
Геометрическое место точек, удаленных на заданное расстояние:
• от точки – сфера, центром которой является данная точка;
• двух точек – плоскость, проходящая через середину отрезка,
соединяющего эти точки, и перпендикулярная к нему;
• прямой – поверхность цилиндра вращения;
• плоскости – пара плоскостей, параллельных данной;
• двух пересекающихся плоскостей – биссекторная плоскость
двугранного угла, образованного данными плоскостями.
Геометрическое место прямых:
• проходящих через точку и прямую – плоскость;
• проходящих через некоторую точку и параллельных данной плоскости
– плоскость, параллельная данной;
• параллельных данной прямой и отстоящих от нее на одинаковое
расстояние – поверхность цилиндра вращения, осью которого является
данная прямая, а радиусом – данное расстояние;
• проходящих через точку и наклоненных под одинаковым углом к
данной плоскости – поверхность прямого кругового конуса, ось
которого перпендикулярна к данной плоскости;
• пересекающих данную прямую и параллельных другой прямой –
плоскость, образованная первой прямой и прямой, параллельной
второй.
Геометрическим местом точек, общих для двух геометрических образов,
является точка или линия их пересечения. На этом основан прием решения
задач методом геометрических мест. Сначала строят геометрическое место
точек или прямых, удовлетворяющих только первому условию, затем –
удовлетворяющих только второму, только третьему и т. д., и определяют точки
или линии пересечения полученных геометрических мест.
Таким образом, задачи сводятся к решению первой или второй основных
позиционных задач. Задачи, решаемые методом геометрических мест, могут
быть либо позиционными, либо позиционно-метрическими.
Пример 1. Определить точку К, принадлежащую прямой l и
равноудаленную от данных точек А и В (рис. 131).
Геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек А и В,
образует плоскость α, перпендикулярную отрезку АВ и проходящую через его
середину. Кроме того, искомая точка К должна принадлежать прямой l.