Page 119 - Зимнее содержание дорог

ЗИМНЕЕ СОДЕРЖАНИЕ ДОРОГ
116
0 = f , но 0 ≠′ f , то 0 ϕ = и частица снега окажется в положении 2 Β ;
если 0 =′ f , но 0 ≠ f , то α−π =ϕ 50 , , и частица 1 Μ , переместится в
точку Μ ′ .
Полученное уравнение (2.1), названное уравнением движения
снега по отвалу, позволяет найти наивыгоднейшее значение угла
захвата m α ,т.е. такого угла, при котором снег в своем движении
наименее отклоняется от нормали 1 Μ D к направлению движения
снегоочистителя, а следовательно, быстрее сходит с отвала в сторону.
Обозначим угол между направлением движения частицы снега
1 2 Μ Μ и нормалью 1 Μ D через δ , причем ϕ+α=δи α−δ=ϕ.
Подставляя полученное выражение для ϕ в уравнение (2. 2), после
преобразования получим
α
α
tg) 1(
tg
tgδ
0
2
0
А
А
−
+
= .
Чтобы найти минимальное значение функции δ ,
продифференцируем выражение δ tg по α .
После некоторых преобразований будем иметь
2
0
2
0
2
0
tg
) tg)( 1( δ
A
А А
d
d
+
− −
=
α
α
α ..
Приравняв полученную производную нулю, получим:
0 ) tg)( 1( 0
2
0 = − − А А α Так как 0 1 0 Α − ≠ , то из уравнения 0 tg 0
2 = − Αα
следует, что 0 tg Α α
m = , где через m α обозначено наивыгоднейшее
значение угла α .
Полученное значение m α и есть минимум функции δ .
Это подтверждается тем, что вторая производная от δ по α
оказывается положительной.
Чтобы найти, в каком направлении перемещается снег при угле
захвата m α , подставим выражение для 2
m tg α в уравнение (2.2).
Тогда 0 0 tg Α = ϕ . Таким образом, 0 tg ϕ = m α tg или m α = ϕ и 2 m α = δ .
Следовательно, при работе на наивыгоднейшем угле захвата угол
между направлением перемещения снега и нормалью к направлению
движения снегоочистителя равен двойному углу захвата, а также