36
•
y=expm
( )
A
– экспонента от матрицы;
•
y=logm
( )
A
– логарифм матрицы;
•
( )
A poly
=
υ
– вычисляет вектор коэффициентов характеристического
полинома (коэффициенты расположены в векторе в порядке убывания
степеней);
•
[
]
( )
A eig D,V
=
– вычисление собственных чисел и собственных
векторов матрицы
А
. Диагональные элементы матрицы
D
(жордановой
канонической формы) являются собственными числами матрицы
А
, а
столбцы матрицы
V
являются собственными векторами. При наличии
единственного выходного параметра
( )
A eig L
=
– выход
L
– вектор-
столбец собственных чисел матрицы;
•
[
]
( )
A svd VSU
=
, ,
– вычисление сингулярного разложения матрицы
А
.
Матрица
А
представляется в виде произведения трех матриц
T
USV A
=
. Здесь матрицы
U
и
V
– ортогональные матрицы, a
S
– диагональная
матрица сингулярных чисел
( )
(
)
AA A
T
i
i
2/1
λ
σ
=
При обращении
( )
A svd S
=
выдается только матрица сингулярных
чисел
S
.
•
( )
A rank
y
=
– ранг матрицы;
Здесь следует уточнить некоторые подробности о том, что в MATLAB
понимается под рангом. MATLAB оперирует с численными оценками и
вычислительными операциями. В соответствии с этим при достаточно малых,
хотя и ненулевых значениях детерминанта численное обращение матрицы
оказывается невозможным. Таким образом, при вычислениях вводится
обобщенное понятие ранга следующим образом: рангом считается количество
сингулярных
чисел
матрицы,
превышающих
заданный
порог
( )
(
)
eps
A A size
tol
* *
max
2
=
.
С особенностями вычислительных процедур при обращении матриц,
вычислении собственных чисел и других операциях связан также ряд важных
функций MATLAB. Приведем функции пакета MATLAB, выполняющие
соответствующие операции.
•
( )
A cond c
=
–
вычисляет
число
обусловленности
матрицы
( )
( )
A A
A A
min
max
2
2
1
*
σ
σ
µ
=
=
−
.
•
[ ]
( )
A
balance
BT
=
,
– балансировка матрицы используется для улучшения
обусловленности матрицы. Процедура балансировки состоит в том, что
ищется диагональная матрица
Т
такая, что матрица
TA TB
**
1
−
=
имеет
примерно равные столбцовую и строчную нормы
∞
≈
B B
1
. Такая
процедура эквивалентна масштабированию переменных решаемой
задачи.
