33
2. Методы решения уравнения гиперболического типа
Задание по лабораторной работе
Используя явную схему крест, решить начально-краевую задачу для
дифференциального уравнения гиперболического типа. Аппроксимацию
второго начального условия произвести с первым и со вторым порядком.
Осуществить реализацию трех вариантов аппроксимации граничных
условий, содержащих производные: двухточечная аппроксимация с
первым порядком, трехточечная аппроксимация со вторым порядком,
двухточечная аппроксимация со вторым порядком. В различные моменты
времени вычислить погрешность численного решения путем сравнения
результатов с приведенным в задании аналитическим решением
),(
txU
.
Исследовать зависимость погрешности от сеточных параметров
h
,
.
,5
2
2
2
2
u
x
u
t
u
(2.1)
,0 ),0(2 ),0(
t u t
u
x
(2.2)
,0 ),1(2 ),1(
t u t
u
x
(2.3)
,
)0,(
2
х
е xu
(2.4)
.0 )0,(
xu
t
(2.5)
Аналитическое решение:
. cos )2 exp(
),(
t
x
txU
2.1. Применение разностной схемы крест разного порядка точности
для решения уравнения гиперболического типа
Используем аппроксимацию второго начального условия
0 )0,(
xu
t
с первым порядком точности по времени.
a) для двухточечной аппроксимации с первым порядком по
координате
разностная схема крест примет вид:
. ,0 ,
, ,0 ), 2 exp(
,
, ,1 ,
21
,0
, ,1 ,
21
,1 ,1 , ,1 ,
5
2
2
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1 2
2
2
2
2
1
1 2
2
1
N j u u
N j hj
u
x при K k
h
u
u
x при K k
h
u
u
N jK k u
h
u
h
u u
h
u
j
j
j
N
k
N
k
N
k
k
k
j
k
j
k
j
k
j
k
j
(2.6)
