36
Введём прямоугольную систему координат с осью
z
, параллельной векто-
ру
(
)
0,0,1
=
e
. Пусть в начальный момент времени точка касания
P
шара с
плоскостью совпадает с началом координат, то есть
( )
0 0
=
r
. Кроме того, пусть
( ) (
)
(
)
1 2
2
0
1 2 3
2 1
0 , ,0 ,
0; ω ω ,ω ,ω , ω /
v v v
v a
=
> =
=
v
. (1.43)
Тогда, воспользовавшись равенствами (1.33), (1.36), (1.41), (1.42), записанными
для момента времени
t
= 0, и начальными условиями (1.43), получим
( ) (
)
(
)
2 1
0 0,
ω 0 ,
0, 1, 0
v a,
= +
=
u
c
В начале происходит проскальзывание, поскольку движение без проскаль-
зывания устанавливается в тот момент, когда
( )
0
t
=
u
. То есть, когда
( ) ( ) ( )
( ) (
)
(
)
(
)
(
)
2 1
0
0 7 / 2
0,
ω , 0 0, 7 / 2 , 0 0
c
c
t
t t
f gt
v a
f gt
′
= + = −
= +
−
=
u u u u
c
,
или
( )
(
)
(
)
2 1
0,
ω 7 / 2 , 0 0
c
t
v a
f gt
= + −
=
u
.
Следовательно,
( )
( )
(
)
2 1
ω 7 / 2
0
y
c
u t u t v a
f gt
= = + −
=
.
Очевидно, движение без проскальзывания устанавливается с момента
(
)
(
)
2 1
2 ω / 7
c
c
t
v a f g t
= +
=
. (1.44)
Чтобы определить траекторию движения точки касания шара на плоско-
сти, напишем векторные уравнения (1.41) и (1.42) в проекциях на координатные
оси
x
,
y
,
z
.
x(t) =
v
1
t
,
y
(
t
) =
v
2
t
- (1/2)
f
c
gt
2
,
z
(
t
) = 0. (1.45)
ω
x
(
t
)
=
ω
1
-
(
5/2
a
)
f
c
gt
,
ω
y
(
t
)
=
ω
2
,
ω
z
(
t
)
=
ω
3
. (1.46)
Соотношения (1.46) показывают, что угловые скорости вращения шара вокруг
осей
y
и
z
постоянны потому, что силы трения качения и верчения не прини-
маются во внимание. Исключив
t
из (1.45), получаем уравнение траектории,
являющейся параболой на плоскости
xoy
:
y
(
x
) = - (
f
c
g
/(2
v
1
2
)
x
2
+ (
v
2
/
v
1
)
x
(1.47)
Дифференцируя (1.41) и (1.45) по времени, определим вектор скорости посту-
пательного движения шара и его проекции:
( )
( ) ( ) ( )
0
c
t
t
t
f gt
′
′
= = = −
v R r v
c
(1.48)
v
x
(t) = v
x
(0) = v
1
, v
y
(t) = v
y
(0) – f
c
g t = v
2
– f
c
g t , v
z
(t) = 0. (1.49)
Меняется только
y
- составляющая скорости поступательного движения
шара. На вершине параболы скорость поступательного движения равняется ну-
лю
v
y
(
t
0
) = 0, где
t
0
=
v
2
/(
f
c
g
), но процесс скольжения продолжается. Как сле-
дует из (1.44),
u
(
t
0
) ≡
u
y
(
t
0
) =
v
2
+
ω
1
a
- (7/2)
f
c
gt
0
=
v
2
+
ω
1
a
- (7/2)
f
c
gv
2
/(
f
c
g
) =
ω
1
a
- (5/2)
v
2
≠ 0.
Если в (1.44) вместо
t
=
t
0
=
v
2
/(
f
c
g
) подставить
t
=
t
c
= (2
u
0
)/ (7
f
c
g
) = 2 (
v
2
+
ω
1
a
)/(7
f
c
g
) =
t
0
- (5
v
2
-
ω
1
a
)/(7
f
c
g
), (1.50)
то поскольку
u(t
c
) = 0, значит, скольжение прекращается. Остаются только ка-
чение и верчение. Теперь действует сила трения покоя, практически такой же
величины, как сила трения скольжения (рис. 1). Работа этой силы равняется ну-
лю, поскольку движение тела перпендикулярно ей (силы трения качения и вер-
