31
ра с плоскостью. Они связаны соотношением
= +
R r a e
. Их первые производ-
ные по времени равны
′ ′=
R r
(так как радиус шара
const
=
a
и
const
=
e
). Шар
катится без проскальзывания, точка
M
принадлежит и шару и плоскости. Ско-
рость точки вращающейся плоскости будет
(
)
Ω,
Ω,
Ω,
Ω,
Ω,
M
= =
− =
−
=
V r
R a e
R a e
R
Скорость той же точки шара будет, как скорость сложного движения,
суммой скоростей поступательного (одинаковой для всех точек шара) и враща-
тельного вокруг центральной оси шара движений.
[ ]
[ ]
ω,
ω,
M
′
′
= −
= −
V r a e R a e
,
где
ω
- вектор угловой скорости вращения шара относительно его центральной
(главной) оси. Знак минус появился, потому что для точки
M
скорости поступа-
тельного и вращательного движений противоположно направлены.
Система уравнений Эйлера для этого случая имеет вид
m m
′′ = +
R g N
, (1.6)
ω ,
I
a
′
⋅ =−
e N
. (1.7)
Уравнение связи имеет следующий вид:
[ ]
Ω,
ω,
M
a
′
=
= −
V R R e
.
(1.8)
Следовательно,
[ ]
Ω,
ω,
+a
′ =
R R e
, (1.9)
где
N
– сила реакции плоскости,
a
– радиус шара,
I
= (2/5)
ma
2
- момент инер-
ции однородного шара относительно его центральной оси.
Дифференцируя равенство (1.9) по времени с учётом того, что
Ω const
=
и
const
=
e
, получим
[
]
Ω,
ω ,
+a
′′
′
′
=
R R e
. (1.10)
Подставив (1.10) в (1.6), получим
[
]
Ω,
ω ,
m m +ma
m
′′
′
′
=
= +
R R
e g N
. (1.11)
Следовательно,
[
]
Ω,
ω ,
m -m ma
′
′
= −
R g N e
. (1.12)
Подставив
ω
′
из (1.7), а также значение момента инерции
I
в (1.12), полу-
чим
( )
(
)
( )
Ω
,
,
/
, ,
5 / 2 , ,
.
2
m ,
m ma - a/I
ma I
′
− = −
=
= −
= −
R g N
e N e
N
e e N N e e N
Используя известную формулу
(
) (
)
, ,
,
,
=
−
A B C B A C C A B
,
(1.13)
получим
(
) ( )
(
)
(
) ( )
(
)
Ω
1 5 / 2 5 / 2 ,
7 / 2 5 / 2 ,
m ,
m
′ − = +
−
=
−
R g
N e e N N e e N
. (1.14)
