46
M
(
r
) = 2π
rl
τ
r
φ
r
= 2π
l
η
r
3
∂
ω
/
∂r
. (1.72)
Поскольку движение стационарное, то
M
(
r
) = 2π
l
η
r
3
∂
ω
/
∂r
= const. (1.73)
Момент сил не зависит от
r
, иначе угловая скорость зависела бы от
r
. В
(1.73) введём константу согласно равенству
r
3
∂
ω
/
∂r
= - 2
A
, откуда следует, что
(
)
(
)
3
ω
2 /
/ r dr= A r dr+C
∂ ∂
−
∫
∫
. (1.74)
Интегрируя (1.74), получим
ω
=
A
/
r
2
+
C
. (1.75)
Граничные условия дают систему двух линейных уравнений:
Ω
1
=
A
/
R
1
2
+
C
и
Ω
2
=
A
/
R
2
2
+
C
,
решив которую находим значения постоянных
A
и
C
A
= (
Ω
1
-
Ω
2
)
R
1
2
R
2
2
/(
R
2
2
-
R
1
2
) ,
C
= (
Ω
2
R
2
2
-
Ω
1
R
1
2
)/(
R
2
2
-
R
1
2
).
Подставляя эти значения в (1.75) и (1.73), получим
ω
= (
Ω
1
-
Ω
2
)
R
1
2
R
2
2
/((
R
2
2
-
R
1
2
)/
r
2
) + (
Ω
2
R
2
2
-
Ω
1
R
1
2
)/(
R
2
2
-
R
1
2
). (1.76)
M
= 2π
l
η(
-2
A
) = 4π
l
η
(
Ω
2
-
Ω
1
)
R
1
2
R
2
2
/(
R
2
2
-
R
1
2
). (1.77)
Вязкость жидкости
η
будет
η
=
M
(
R
2
2
-
R
1
2
)/(4π
l
(
Ω
2
-
Ω
1
)
R
1
2
R
2
2
). (1.78)
Повесим внутренний цилиндр вертикально на упругой нити с известным
модулем кручения
f
в исследуемую вязкую жидкость, налитую в наружный
цилиндр. и совместим их оси (рис. 21,
б
). Измеряя угол кручения φ упругой
нити при стационарном вращении жидкости (или газа), можно определить ко-
эффициент динамической вязкости
η
из (1.78).
Учитывая, что
Ω
1
= 0, M = f∙φ и обозначив
Ω
2
через
Ω,
получим
η
=
f
φ (
R
2
2
-
R
1
2
)/(4 π
l
Ω
R
1
2
R
2
2
). (1.79)
Важный для этой задачи вопрос устойчивости ламинарного вращательно-
го движения жидкости рассматривается в пункте (1.5.6).
1.5.4. Стационарное течение вязкой жидкости. /
Теория подобия
Скорость стационарного движения вязкой несжимаемой жидкости по
прямолинейной цилиндрической трубе длиной
l
, радиуса
R
при постоянной
разности давления
P
1
–
P
2
в концах трубы будет постоянной на каждой линии
тока. Скорость будет зависеть только от расстояния между линией тока и осью
цилиндра. Совместим
OX
с осью цилиндра и направим вдоль движения. На оси
X
скорость движения будет максимальной
v
=
v
0
. Если выделить цилиндр со-
осный с трубой радиусом
r
и высотой
dx
, то сила трения на боковой поверх-
ности будет
dF
=
η
dS
(
dv
/
dr
) =
η
2π
rdx
(
dv
/
dr
). (1.80)
При стационарном движении эта сила полностью компенсируется силой
разности давления
dF
1
на основания выделенного цилиндра:
dF
1
= π
r
2
(
P
(
x
) -
P
(
x
+
dx
)) = - π
r
2
(
dP
/
dx
)
dx
= - π
r
2
((
P
1
–
P
2
)/
l
)
dx
. (1.81)
Из равенства этих сил получается условие
(
dv
/
dr
) =
r
(
P
1
–
P
2
)/(2
η
l
). (1.82)
