56
(
)
(
)
/
/
i
k
k i
k
i
k i
u x dx dx u x dx dx
∂ ∂
= ∂ ∂
и
(
) (
)
(
) (
)
/
/
/
/
i
k
k
i
l
l
l
k
k
l
i
i
u x dx u x dx u x dx u x dx
∂ ∂
∂ ∂ = ∂ ∂
∂ ∂
,
то
(
)
(
) (
)
(
)
/
/
/
/
/
/
/
/
.
2
2
i
k
k
i
k i
l
k
k
l
i
i
2
i
k
k
i
l
k
l
i
k i
dl dl + u x u x dx dx u x dx u x dx
dl + u x u x u x u x dx dx
′ = ∂ ∂ +∂ ∂
+ ∂ ∂
∂ ∂ =
= ∂ ∂ +∂ ∂ +∂ ∂ ⋅∂ ∂
Введём обозначение:
(
)
/
/
/
/
/ 2
ik
i
k
k
i
l
k
l
i
u u x u x u x u x
= ∂ ∂ +∂ ∂ +∂ ∂ ⋅∂ ∂
. (2.1)
Окончательно получим
2
2
2
ik i
k
dl dl + u dxdx
′ =
, (2.2)
где
u
ik
, являющейся аффинным, симметричным ортогональным тензором вто-
рого ранга, называется
тензором деформации
и определяет изменение элемен-
та длины при деформировании тела. Из 9 элементов симметричного тензора не-
зависимыми являются только 6, поскольку
u
ik
=
u
ki
.
Таким образом, если заданы частные производные проекций
u
k
вектора
смещения
u
по осям координат
∂u
i
/∂x
k
, то можно определить положение то-
чек тела после деформации с помощью уравнений (2.1) и (2.2). В каждой дан-
ной точке тензор
u
ik
можно привести к главным осям, то есть так выбрать оси
координат, чтобы тензор имел диагональный вид, когда отличны от нуля только
элементы
u
11
,
u
22
и
u
33
. Для удобства обозначим их через
u
(1)
,
u
(2)
и
u
(3)
соот-
ветственно. Тогда в окрестностях данной точки (2.2) примет вид
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
1
2
3
2
2
2
1
2
3
1 2
1 2
1 2
2
dl
u dx + u dx + u dx
′ = +
+
+
. (2.3)
Деформацию в этом случае можно рассматривать как совокупность трёх
независимых деформаций по трём взаимно перпендикулярным главным осям
тензора деформации. Так можно поступить для каждой точки тела. Каждая из
этих деформаций есть простое растяжение (или сжатие) вдоль соответствующе-
го направления. При этом
( )
1 2
i
i
i
dx
u dx
′= +
. (2.4)
Относительные удлинения будут
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
1/ 2
2
ε
/
1 2
1
1/ 2
i
i
i
i
i
i
i
i
dx dx dx
u
u
u u
′
= −
== +
− = −
≈
. (2.5)
Будем рассматривать только малые относительные деформации
ε
(i)
<< 1,
когда
u
(
i
)
<< 1 и третьим слагаемым в (2.1) можно пренебречь. Из (2.5) сле-
дует, что
( )
(
)
( )
1/ 2
1 2
1
i
i
u
u
+
≈ +
. Равенство (2.4) можно записать в виде
( )
(
)
1
i
i
i
dx
u dx
′= +
. (2.6)
Определим относительное изменение малого элемента объёма вследствие
деформации тела вблизи рассматриваемой точки. Так как
u
(
i
)
<< 1 , то
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
1
2
3
1
2
3
1 2 3
1 2 3
1
1
1
1
dV =dx dx dx
u
u
u dx dx dx
u u +u dV
′
′ ′ ′ = + + +
≈ + +
Следовательно,
