58
(
)
(
)
(
)
,
z
y x
x
z y
y
x z
yF zF zF xF xF yF
M r F
e
e
e
= = −
+ −
+ −
, (2.9)
где
x
,
y
,
z
координаты точки приложения силы
F
. Введём полностью анти-
симметричный тензор второго ранга с 9 компонентами:
M
ik
=
F
i
x
k
-
F
k
x
i
= -
M
ki
, (2.10)
Диагональные элементы такого тензора равны нулю
M
11
=
M
22
=
M
33
= 0. Этот
тензор полностью определён, если известны его три независимых (недиагональ-
ных) элемента. Следовательно, каждому вектору типа (2.9) можно ставить в од-
нозначное соответствие тензор типа (2.10). Так как
F
- это сила, действующая
на единицу объёма тела, то для тензора момента сил, действующих на выбран-
ный объём
V
получим
M
ik
= ∫(
F
i
x
k
-
F
k
x
i
)
dV
= ∫((∂
σ
il
/∂
x
l
)
x
k
– (∂
σ
kl
/∂
x
l
)
x
i
)
dV
=
= ∫(∂(
σ
il
x
k
–
σ
kl
x
i
)/∂
x
l
)
dV
- ∫(
σ
il
(∂
x
k
/∂
x
l
) –
σ
kl
(∂
x
i
/∂
x
l
))
dV
.
Следовательно,
(
)
(
)
σ σ
σ σ
ik
il k
kl i
l
ki
ik
M x x dS
dV
=
−
+ −
∫
∫
. (2.11)
Мы использовали равенство (2.8), теорему Остроградского-Гаусса и не-
зависимость координат
x
,
y
,
z
друг от друга. Как и полная сила, действующая
на произвольный объём тела, момент этих сил также должен выражаться инте-
гралом по поверхности этого объёма. Следовательно, второй интеграл в (2.11)
должен тождественно равняться нулю или
σ
ki
=
σ
ik
. (2.12)
Таким образом, тензор напряжений является симметричным тензором.
Тензор моментов сил, действующих на произвольный объём тела, примет вид
(
)
(
)
σ σ
ik
i k
k i
il k
kl i
l
M Fx F x dV x x dS
= −
=
−
∫
∫
. (2.13)
2.4. Тензор напряжений равномерного всестороннего сжатия
На элемент поверхности тела
dS
i
будет влиять сила
i
i
d
dS
F p S p
= =−
, на-
правленная по нормали к поверхности внутрь объёма тела, где
const
p
=
, яв-
ляется действующим давлением. Согласно (2.8), эта же сила будет
F
= -
pdS
i
= -
p
δ
ik
dS
k
=
σ
ik
dS
k
или
σ
ik
= -
p
δ
ik
. (2.14)
То есть диагональные элементы симметричного тензора напряжений в
этом случае равны
σ
11
=
σ
22
=
σ
33
= -
p
. Остальные элементы
σ
ik
равны нулю.
В общем случае деформации тела отличными от нуля могут быть все эле-
менты тензора напряжений. Следовательно, на выделенный элемент поверхно-
сти внутри тела будут действовать силы как нормальные (силы сжатия и растя-
жения), так и тангенциальные («скалывающие» силы), старающиеся сдвинуть
параллельные элементы поверхности друг относительно друга.
Уравнения равновесия деформированного тела имеют вид
F
i
= ∂
σ
ik
/∂
x
k
= 0. (2.15)
Если тело находится в равновесии в поле сил тяжести, то уравнение рав-
новесия в этом случае будет
∂
σ
ik
/∂
x
k
+
ρ
g
i
= 0. (2.16)
