СИЛА ТРЕНИЯ - page 59

57
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
/ dV -dV dV=u u u′ + + . (2.7)
Сумма диагональных элементов приведённого тензора деформации пред-
ставляет собой относительное изменение объёма вблизи выбранной точки.
2.2. Симметричный тензор напряжений
При деформировании твёрдого тела меняется относительное расположе-
ние его молекул, что приводит к увеличению потенциальной энергии их взаи-
модействия. Возникают внутренние силы (внутренние напряжения), стремя-
щиеся вернуть систему в равновесное состояние – состояние устойчивого рав-
новесия, когда устанавливаются механическое и тепловое равновесия с мини-
мальной потенциальной энергией взаимодействия. Деформирующие силы и ре-
акции деформированного тела уравновешивают один другого, и тело оказывает-
ся в новом состоянии равновесия при возникших внутренних напряжениях. Ус-
ловия равновесия твёрдого тела требуют, чтобы результирующие всех сил и их
моментов равнялись нулю для каждого выделенного в теле объёма. Межмоле-
кулярные силы - это короткодействующие силы с радиусом действия порядка
межмолекулярных расстояний. Теория упругости - макроскопическая теория,
рассматривающая напряжения и деформации для объёмов, многократно превы-
шающие объём отдельной молекулы. Следовательно, силы, влияющие на про-
извольную часть тела со стороны окружающих её частей, действуют только не-
посредственно через поверхность этой части. Исключение составляют только
пиро - и пьезоэлектрические тела, в которых под влиянием внутренних напря-
жений появляются макроскопические электрические поля.
Пусть F - сила, действующая на единицу объёма тела. Сила, действующая
на выделенный в теле объём V будет dV F ∫ 
. Понятно, что результирующая
сила, действующая на выделенный объём V, есть суммарная сила, действующая
на данный объём через его поверхность со стороны соседних участков. Каждую
из трёх составляющих результирующей силы, действующей на выбранный объ-
ём тела, можно представить в виде интеграла по поверхности этого объёма. Со-
гласно теореме Остроградского-Гаусса,
( σ / ) σ
i ik k ik k FdV x dV dS = ∂ ∂ = ∫ ∫ ∫
 . (2.8)
Интегрирование по объёму проводится по компонентам вектора
Fi = ∂σ ik/∂x k , в то время, как интегрирование по поверхности этого объёма про-
водится по компонентам тензора напряжений σ ik .
dSk - компоненты вектора dS элемента поверхности, направленного по
внешней нормали к поверхности. Сила, действующая на соседние участки со
стороны выделенного объёма, будет
σik kdS ∫
 .
2.3. Момент сил, действующих на некоторый объём тела
Известно, что момент силы F
можно представить в виде