26
2. Решение систем линейных алгебраических
уравнений
Задача численного решения систем
линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
имеет незапамятную историю. Классический
метод исключения, активно развиваемый и
изучаемый даже в наши дни, был открыт К.
Гауссом в 1849 г. Однако еще за 2000 лет до
этого в Древнем Китае изданы «Девять книг о
математическом искусстве», где этот алгоритм
уже изложен в характерной для своего
времени «натуральной» форме, но фактически
с использованием матричных преобразований.
Вплоть до начала XX в. алгебра
оставалась «наукой о решении уравнений», после чего произошло ее
разделение на высшую алгебру (операции с абстрактными объектами
различной природы) и линейную, основа которой
матричное
исчисление.
Становление современных вычислительных методов линейной
алгебры можно считать состоявшимся после выхода в 1960 г. книги Д.К.
и В.Н. Фаддеевых с одноименным названием, по которой училось не одно
поколение российских и зарубежных математиков. Необходимо
подчеркнуть, что актуальные проблемы вычислительной алгебры имеют
фундаментальный характер не только потому, что текущая
компьютеризация различных областей знаний в значительной степени
сводится к векторно-матричным процедурам. Изучение матриц,
являющихся операторами в простейших конечномерных пространствах,
позволяет обнаружить наиболее глубокие и тонкие свойства
математических объектов, имеющих свое значение для функционального
анализа, теории аппроксимации, дифференциальных уравнений и т.д.
Последние десятилетия ознаменованы бурным развитием численных
методов, нашедших отражение в книгах Г.И. Марчука, А.А. Самарского,
С.К. Годунова, Дж. Голуба, О. Аксельсона и др. В рамках итерационных
методов решения СЛАУ значительные продвижения достигнуты в таких
современных направлениях, как алгоритмы сопряженных направлений,
последовательной и симметричной верхней релаксации, неявные
алгоритмы переменных направлений и методы неполной факторизации.
К. Гаусс
(1777-1855)
