30
Итерационный процесс заканчивается, если для каждой
i
-й
компоненты вектора неизвестных будет выполнено условие достижения
точности ε
,
где
k
номер итерации;
заданная точность.
О близости найденного на
k
-й итерации решения и точного можно
также судить по так называемой невязке – разности правой и левой частей
уравнений системы при подстановке в нее приближенного решения
(
x
1
(
k
),
x
2
(
k
),
x
3
(
k
)).
Формулы для вычисления ошибок (невязок) в выполнении равенств:
.
,
,
3
3 33
2 32
1 31
3
2
3 23
2 22
1 21
2
1
3 13
2 12
1 11
1
b xa xa x
a
O
b xa xa xa O
b xa
xa x
a O
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
2.4. Метод Зейделя
Отличие метода Зейделя от метода простой итерации заключается в
том, что при вычислении очередного приближения вектора неизвестных
используются уже уточненные значения на этом же шаге итерации. Это
обеспечивает более быструю сходимость метода Зейделя. Алгоритм
метода Зейделя весьма похож на алгоритм предыдущего метода. Первые
два пункта (проверка условия сходимости и выбор начального
приближения), а также четвертый пункт (проверка достижения заданной
точности) остаются без изменения [12].
Отличается здесь только третий пункт алгоритма. При вычислении
x
1
используется информация об остальных неизвестных, найденных на
предыдущей итерации. При вычислении
x
2
используется значение
x
1
,
найденное на 1-м шаге текущей итерации, и значения остальных
переменных, найденные на предыдущей итерации, и т.д. Наконец, при
вычислении последней компоненты вектора неизвестных
x
n
используется
информация об остальных компонентах, найденных на текущей итерации.
Приведенная система уравнений имеет вид
.
/
...
..........
..........
..........
..........
..........
,
/
...
,
/
...
1
1
22
1
1 21
2
2
11
1
1
2 12
1
1
nn
(k)
n1nn,
(k)
n1
n
(k)
n
)
(k
n 2n
(k)
(k)
)
(k
n 1n
)
(k
(k)
a x a++xa b=x
a
xa++xa b=x
a
xa++ xa b=x
(2.4)
