111
При
n=
2 получим уравнение параболы
y = L
2
(x),
проходящей через
три точки:
2
1
0
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
y
bca c
bxa x
y
cbab
c xa x
y
c
aba
c xb
x
y
,
где
а, b, c –
абсциссы данных точек.
4.9. Вычисление лагранжевых коэффициентов
Укажем схему, облегчающую вычисление коэффициентов при
y
i
(
i =
0
,
1, 2, . . . ,
п
) в формуле Лагранжа, так называемых
лагранжевых
коэффициентов
)
)...(
)(
)...(
)(
(
)
)...(
)(
)...(
)(
(
)(
1
1
1
0
1
1
1
0
)(
n
i
i
i
i
i
i
i
n
i
i
n
i
x x
x
x x x
x x x
x
x x
x x x x
x x
x x
x L
,
(4.36)
или в более компактной записи
) (
)
(
)(
)(
1
1
)(
i
n i
n
n
i
x
x x
x
x L
,
(4.37)
где
)
)...(
(
)
(
0
1
n
n
x
x x x x
.
Формула Лагранжа при этом имеет вид
i
n
i
n
i
n
yx
L xL
)(
)
(
0
)(
. Отметим,
что форма лагранжевых коэффициентов инвариантна относительно целой
линейной подстановки
x = at+b (а, b
постоянны и
а ≠
0). Действительно,
положив в формуле (4.36)
b
at
x
;
b at
x
j
j
) ,...,
1,0
(
n
j
,
после сокращения числителя и знаменателя на
n
a
, получим
)
)...(
)(
)...(
)(
(
)
)...(
)(
)...(
)(
(
)(
1
1
1
0
1
1
1
0
)(
n i
i
i
i
i
i
i
n
i
i
n
i
t t
t t
t t
t t t t
t t
t
t
t t
t t t t
t
L
,
(4.38)
или
)(
)
(
)(
)
(
1
1
)(
i
n i
n
n
i
t
t t
t
t
L
,
(4.38’)
где
)
)...(
)(
( )(
1
0
1
n
n
t t
t t
t t
t
. Что и требовалось доказать.
Для вычисления лагранжевых коэффициентов может быть
использована приведенная ниже схема, особенно удобная при
применении счетной машины. Сначала располагаем в таблицу разности
следующим образом:
x- x
0
x
0
- x
1
x
0
- x
2
... x
0
- x
n
,
x
1
- x
0
x- x
1
x
1
- x
2
... x
1
- x
n
,
x
2
- x
0
x
2
- x
1
x- x
2
... x
2
- x
n
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
n
- x
0
x
n
- x
1
x
n
- x
2
... x- x
n
.
