115
которые в пределах заданной точности можно считать постоянными.
Предполагая, что
∆
n
+у
почти постоянны для функции
у = f
(
x
)
и
h
достаточно мало, и учитывая, что
1
1
0
1
lim )(
n
n
h
n
h
y
x
f
,
приближенно можно положить
1
0
1
1
)ξ
(
n
n
n
h
y
f
.
В этом случае остаточный член первой интерполяционной формулы
Ньютона приближенно равен
0
1
)!1 (
)
)...( 1
(
)(
y
n
nq
q
q
xR
n
n
.
В этих же условиях для остаточного члена второй интерполяционной
формулы Ньютона получаем выражение
n
n
n
y
n
nq
qq
x
R
1
)!1 (
)
)...(
1
(
)(
.
4.12. Кусочно-линейное и кусочно-квадратичное
интерполирование
Иногда интерполирование по всей совокупности точек бывает
недостаточным. В этих случаях можно воспользоваться объединением
фрагментов графиков полиномов низкой степени и интерполированием
между последовательными узлами. Самый простой в использовании
полином первой степени. Он создает ломаную, состоящую из отрезков,
которые проходят через две точки. Чтобы представить эту кусочно-
линейную кривую, используется полином Лагранжа
1
1
1
1
( )
k
k
k
k
k
k
k
k
k
х х
x x
S x
y
у
x x
x
x
или формулу угла наклона отрезка линии в точке
1
1
( )
k
k
k
k
k
k
k
y y
S x y
x x
x x
,
где
( )
k
S x
– линейный сплайн на отрезке [
x
k+
1
,
x
k
];
y
k
– заданное значение
функции, полученное экспериментально в заданных узлах.
Аналогично можно построить кусочно-квадратичный полином.
Недостатком этого подхода является резкое изменение кривизны в
общих узлах.
