101
Конечные разности различных порядков удобно располагать в форме
таблиц двух видов:
горизонтальной таблицы разностей
(табл. 4.1) или
диагональной таблицы разностей
(табл. 4.2).
Таблица 4.1
Горизонтальная таблица разностей
x
y
∆
y
∆
2
y
∆
3
y
x
0
y
0
∆
y
0
∆
2
y
0
∆
3
y
0
x
1
y
1
∆
y
1
∆
2
y
1
∆
3
y
1
x
2
y
2
∆
y
2
∆
2
y
2
∆
3
y
2
.
....
..
...
..
...
..
...
.
....
Таблица 4.2
Диагональная таблица разностей
x
y
∆
y
∆
2
y
∆
3
y
x
0
y
0
∆
y
0
x
1
y
1
∆
2
y
0
∆y
1
∆
3
y
0
x
2
y
2
∆
2
y
1
∆y
2
x
3
y
3
4.3. Обобщенная степень
В дальнейшем нам понадобится понятие
обобщенной степени
.
Определение. Обобщенной
n
-степенью числа
х
называется
произведение
п
сомножителей, первый из которых равен
х,
а каждый
следующий на
h
меньше предыдущего:
х
[
п
]
=
х
(
х
h
) (
х
2
h)
. . . [
x
(
n
1)
h
]
,
(4.11)
где
h
некоторое фиксированное постоянное число.
Показатель обобщенной степени обычно записывается в квадратных
скобках. Полагают
x
[0]
=1. При
h
= 0 обобщенная степень (4.11) совпадает
с обычной
х
[
п
]
= х
п
.
Вычислим конечные разности для обобщенной степени, полагая
∆x
=
h.
Для первой разности имеем
,
]
)2 (
)...[
(
]} )1 ( [ )
{( )]2 (
)...[
(
])1 (
)...[
( ])2 (
...[ )
(
)
(
]1 [
][
][
][
n
n
n
n
nhx
nhh n x hxx h n x hx h n x hxx
h n x hxx h n x xh x
x h x
x
т.е.
]1 [
]
[
n
n
nhx
x
.
(4.12)
Подсчитываем вторую разность
