91
4.2. Канонический вид квадратичной формы
Квадратичная форма имеет канонический вид, если
a
12
=
a
21
= 0. В этом
случае матрица квадратичной формы имеет диагональный вид.
Чтобы произвольную квадратичную форму привести к каноническому ви-
ду, нужно найти такой базис, в котором матрица формы принимает диагональ-
ный вид.
Касательная плоскость состоит из касательных прямых, проведённых ко
всем регулярным кривым, лежащим на поверхности
S
и проходящим через
точку касания.
Два однородных изотропных твёрдых тела с регулярными поверхностями
S
и
S
′ сдавливаются приложенными к ним силами, в результате чего они
сближаются на некоторое малое расстояние
h
.
Пусть в достаточно малой окрестности их точки касания эти поверхности
представляются
k
раз непрерывно дифференцируемыми вектор-функциями
( )
x,y
r
и
( )
x,y
r
′
соответственно. Пусть начало прямоугольной декартовой сис-
темы координат совпадает с точкой касания
O
, а оси
z
и
z
′ направлены по нор-
мали к общей для обеих поверхностей
S
и
S
′ касательной плоскости вглубь
первого и второго тела соответственно.
Следовательно, плоскость
xoy
совпадает с касательной плоскостью. В
достаточно малой окрестности точки касания
O
в плоскости
xoy
поверхность
S
можно представить квадратичной формой в виде явной функции
z
=
f
(
x
,
y
):
z
=
a
11
x
2
+
a
12
xy
+
a
21
yx
+
a
22
y
2
, (4.1)
где
a
12
=
a
21
и при этом
f
(0, 0) = 0;
f
x
(0, 0) =
f
y
(0, 0) = 0. (4.2)
Эта квадратичная форма представляет собой уравнение параболоида, ко-
торый является соприкасающимся к
S
в точке
O
параболоидом. Матрица
11
12
21
22
a a
A
a a
=
(4.3)
называется матрицей квадратичной формы для заданных направлений осей
x
и
y
, то есть для заданного базиса
x
e
и
y
e
. Выбором нового базиса
x
e
и
y
e
, то
есть соответствующим поворотом плоскости
xoy
вокруг оси
z
, квадратичную
форму (4.1) можно привести к каноническому виду, когда его матрица прини-
мает диагональный вид
1
2
0
0
Г=
λ
λ
(4.4)
Следовательно,
a
11
=
λ
1
,
a
22
=
λ
2
,
a
12
=
a
21
= 0.
Квадратичная форма (4.1) принимает вид
z
=
λ
1
x
2
+
λ
2
y
2
, (4.5)
Это значит, что в достаточно малой окрестности точки
O
поверхность
S
отождествляется параболоидом, плоскости нормальных главных сечений кото-
рого совпадают с плоскостью
xoz
и
yoz
соответственно.
