92
Радиус кривизны
R
1
главного нормального сечения по
xoz
связан с диаго-
нальным элементом матрицы
A
квадратичной формы соотношением
R
1
=
1/(2
λ
1
) или
λ
1
= 1/(2
R
1
). Радиус кривизны главного нормального сечения по
yoz
будет соответственно
R
2
= 1/(2
λ
2
) или
λ
2
= 1/(2
R
2
). Если точка касания
O
явля-
ется эллиптической точкой поверхности
S
, то гауссова кривизна поверхности
S
в точке
O
будет положительной
K
= 4
λ
1
λ
2
> 0. Это значит, что
λ
1
и
λ
2
одинакового знака. Если дополнительно требовать, чтобы в точке касания по-
верхность
S
была выпуклой, то в этом случае
λ
1
> 0 и +
λ
2
> 0. Кривизна лю-
бого нормального сечения поверхности
S
в точке касания будет положитель-
ной, поскольку
λ
1
и
λ
2
являются экстремальными значениями кривизны в точ-
ке
O
.
4.3. Базис канонического вида квадратичной формы
Процедура нахождения базиса, при котором квадратичная форма прини-
мает канонический вид, такова:
1.
Составляем характеристическое уравнение матрицы A
11
12
21
22
λ
0
λ
a
a
a a
−
=
−
или
(
)(
)
11
22
12 21
λ
λ
0
a
a
a a
− − − =
(4.6)
и находим корни уравнения
(
)
2
11 22
11 22 12 21
λ
λ
0
a a a a a a
− + + − =
.
Для симметрического преобразования
12 21
a a
=
получим
(
) (
)
(
) (
)
2
11
22
11
22
11 22
12 21
1,2
2
2
11
22
11
22
12
4(
)
λ
2
4
.
2
a a
a a
a a a a
a a
a a
a
+ ± + −
−
=
=
+ ± − +
=
(4.7)
Подкоренное выражение в (4.7) положительно
(
)
2
2
11 22
12
4 0
a a
a
− + >
.
Следовательно, корни
λ
1
и
λ
2
всегда вещественны.
Пусть нам известны коэффициенты разложений векторов нового базиса
x
e
и
y
e
по старому базису
x
e
и
y
e
:
11
21
12
22
,
x
x
y
y
x
y
l
l
l
l
= +
= +
e e e e e e
.
(4.8)
Матрицу коэффициентов обозначим через
L
∗
11 21
12 22
*
l
l
L
l
l
=
. (4.9)
Каждой точке на плоскости соответствует вектор с началом в начале ко-
ординат и концом в данной точке. Плоскость состоит из конечных точек все-
возможных векторов. Существует взаимнооднозначная связь между точками
плоскости и векторами.
Пусть некоторый вектор
r
представляется в старом и новом базисах ра-
венствами
