90
ГЛАВА 4. СОПРИКОСНОВЕНИЕ ТВЁРДЫХ ТЕЛ
4.1. Соприкосновение тел эллиптическими точками
Пусть точка соприкосновения регулярных
поверхностей
S
и
S
΄двух вы-
пуклых однородных твёрдых тел является эллиптической
точкой этих поверх-
ностей. (см. средняя и гауссова кривизны). Проведём общую касательную плос-
кость через точку касания
O
поверхностям
S
и
S
΄ этих тел. Введём единич-
ный вектор нормали
n
к касательной плоскости, направленный внутрь по-
верхности
S
. Введём прямоугольную правовинтовую декартовую систему ко-
ординат
x
,
y
,
z
с началом в точке касания
O
и направим ось
z
по вектору
n
.
Очевидно, плоскость
xoy
совпадёт с касательной плоскостью. Соответствую-
щим поворотом плоскости
xoy
вокруг оси
z
приведём уравнение (3.39) сопри-
касающегося параболоида поверхности
S
к виду (3.40). Это означает, что плос-
кости
xoz
и
yoz
являются главными нормальными сечениями поверхности
S
в
точке касания
O
. Требование эллиптичности точки
O
означает, что гауссова
кривизна поверхности
S
в точке касания положительна
K
=
k
1
k
2
>0, а требование
выпуклости означает, что
k
1
= 1/
R
1
> 0,
k
2
= 1/
R
2
> 0, где
R
1
и
R
2
- радиусы кри-
визны двух главных сечений поверхности
S
в точке касания
O
.
Приведённые рассуждения справедливы и для поверхности
S
΄. В этом
случае
z
↑↓
z
΄,
K
΄ =
k
΄
1
k
΄
2
> 0,
k
΄
1
= 1/
R
΄
1
> 0,
k
΄
2
= 1/
R
΄
2
> 0,
где
R
΄
1
и
R
΄
2
- радиусы кривизн двух главных сечений поверхности
S
΄ в точке
касания
O
. Плоскости двух главных нормальных сечений поверхности
S
΄ в об-
щем случае не совпадут с теми же плоскостями для поверхности
S
. Совпадение
может быть только случайным.
Следовательно, с первым телом
S
будет связана правовинтовая декартовая
прямоугольная система координат
x
,
y
,
z
. Со вторым телом
S
΄ - левовинтовая
система координат
x
΄,
y
΄,
z
΄. Ситуация упрощается, если считать, что тела явля-
ются однородными телами вращения с осью симметрии
z
и
z
΄ соответственно.
Их центры масс будут находиться на положительной полуоси
z
и
z
΄. В этом
случае точка касания является омбилической точкой обеих поверхностей, и все
плоскости, проходящие через ось
z
или
z
΄, являются главными нормальными
сечениями. Кривизны поверхностей
S
и
S
΄ будут
k
1
=
k
2
=
k
и
k
΄
1
=
k
΄
2
=
k
΄ соответственно, а радиусы их кривизны -
R
и
R
΄.
В достаточно малой окрестности точки касания
O
в плоскости
xy
окрест-
ность этой точки на поверхности
S
можно задавать явным уравнением
z
=
f
(
x
,
y
),
где
f
(
x
,
y
) -
k
раз непрерывно дифференцируемая функция [36, 37]. При этом
функция
f
(
x
,
y
) и ее первые производные удовлетворяют условиям
f
(0, 0) =
f
x
(0, 0) =
f
y
(0, 0) = 0,
z
=
f
(
x
,
y
) =
a
11
x
2
+
a
12
xy
+
a
21
yx
+
a
22
y
2
=
a
11
x
2
+ 2
a
12
xy
+
a
22
y
2
),
где
a
ik
-коэффициенты квадратичной формы, причём
a
12
=
a
21
.
