71
2) уточнение приближенных корней, то есть доведение их до
заданной степени точности.
Теорема
. Если непрерывная функция
)
(
x
f
принимает значения
разных знаков на концах отрезка
[
а,b
]
, т. е.
0
)(
)(
bf
a
f
, то внутри
этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения
f(х)=
0
, т. е. найдется хотя бы одно число x
0
, а<х
0
<b, такое, что f(x
0
)=
0
.
Корень x
0
будет единственным, если производная
)(
x f
существует и
сохраняет постоянный знак внутри интервала (а, b).
Процесс отделения корней начинается с установления знаков
функции
)
(
xf
в граничных точках
a
и
b
её существования. Затем
определяются знаки функции
)
(
xf
в ряде промежуточных точек
2
1
,
a
a
x
…
Если окажется, что
0
) ( )
(
1
k
k
a
f
af
, то в силу теоремы в интервале (
а
k
,
а
k
+1
)
имеется корень уравнения
.0
)
(
x
f
3.2. Метод половинного деления (дихотомии)
Пусть дано уравнение (3.1), где функция
)
(
x
f
непрерывна на
b
a
,
и
.0
)
(
)
(
bf
a
f
Для нахождения корня данного уравнения (3.1), принадлежащего
отрезку
b
a
,
, делим отрезок пополам. Если
,0
2
ba
f
то
2
ξ
ba
является корнем уравнения. Если
,0
2
ba
f
то выбираем ту из половин
2
,
ba
a
или
, ,
2
b
ba
на которой функция
)(
x
f
имеет противоположные
знаки. Новый суженый отрезок
1 1
,
b
a
снова делим пополам и проводим
тоже рассмотрение и т.д. В результате получаем на каком-то этапе или
точный корень уравнения (3.1), или же бесконечную последовательность
вложенных друг в друга отрезков
,...
,
,...,
,
,
,
2 2
1 1
n n
b
a
b
a b
a
таких, что
,...) 2
,1 ( 0 )
(
)
(
n
bf a
f
n
n
(3.2)
и
a
b
a b
n
n
n
2
1
.
(3.3)
Так как левые концы
,....
,...
,
2 1
n
a
aa
образуют монотонную
неубывающую ограниченную последовательность, а правые концы
,...
,...
,
2 1
n
b bb
монотонную
невозрастающую
ограниченную
последовательность, то в силу неравенства (3.3) существует общий
предел
.
lim lim ξ
n
n
n
n
b
a
