4
Введение
Использование математических методов моделирования в
настоящее время находит большое применение при решении любых задач
естествознания, в том числе задач экономики. Применение упрощенных
моделей приводит к погрешностям вычислений и отсутствию полного
описания всей совокупности решений. Более сложные модели,
построенные на дифференциальных уравнениях в частных производных,
дают точное решение и гибкие возможности изменения параметров
моделирования.
1. Методы решения одномерного уравнения параболического типа
Рассмотрим
решение
начально-краевой
задачи
для
дифференциального уравнения параболического типа и покажем
реализацию трех вариантов аппроксимации граничных условий,
содержащих производные: двухточечная аппроксимация с первым
порядком, трехточечная аппроксимация со вторым порядком,
двухточечная аппроксимация со вторым порядком. В различные моменты
времени вычислить погрешность численного решения путем сравнения
результатов с приведенным в задании аналитическим решением
),(
txU
.
Исследовать зависимость погрешности от сеточных параметров
h
,
.
Математическая постановка задачи
2
2
x
u
a
t
u
,
0
a
,
(1.1)
)
exp(
),0(
at
t
u
x
,
(1.2)
)
exp(
), (
at
t
u
x
,
(1.3)
x
xu
sin )0,(
.
(1.4)
Аналитическое решение:
x at
txU
sin)
exp(
),(
.
(1.5)
1.1. Применение явных схем разного порядка точности для решения
уравнения параболического типа
a) для
двухточечной аппроксимации с первым порядком по координате
получаем итоговый вид решения задачи (2.1)-(2.4):
