273
Подставив выражение для
H
(
t
) из уравнения (30.5) в уравнение (30.4), получим:
(
)
( )
2
.
M m x Fx mL cos mL sin u t
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+ + −
+
=
(30.7)
Подставив выражения для
H
(
t
) из уравнения (30.5) и для
V
(
t
) из уравнения
(30.6) в уравнение (30.3), получим:
(
)
2
0.
J mL mLxcos mgLsin
ϕ
ϕ
ϕ
+
−
−
=
(30.8)
Уравнения (30.7) и (30.8) являются нелинейными уравнениями, составляющими
математическую модель перевернутого маятника не тележке.
30. 3. Линеаризованные уравнения системы
Поскольку задачей данной работы является создание системы управления
классическими методами теории автоматического управления, то для
дальнейших вычислений необходимо линеаризовать уравнения (30.7) и (30.8) и
записать их в форме уравнений в переменных состояния.
Очевидно, что номинальным режимом, в окрестностях которого будем
проводить линеаризацию уравнений, является режим
( )
0
≡
t
ϕ
,
( )
0
≡
tx
,
( )
0
≡
tu
.
Линеаризацию в окрестностях этого режима легко выполнить, разлагая
( )
t
ϕ
sin
и
( )
t
cos
в ряды Тейлора и подставляя в уравнения (30.7) и (30.8) только первые
члены рядов:
(
)
( )
.
tu mL xFxmM
= − + +
ϕ
(30.9)
.0
2
=
− −
+
ϕ
ϕ
mgL xmL
mL J
(30.10)
Основываясь на линеаризованных уравнениях системы, найдем ее
передаточную функцию, полагая, что входом является управляющее
воздействие
u
(
t
), а выходом – угол отклонения маятника от вертикали
( )
t
ϕ
.
Применим к уравнениям (30.9) и (30.10) преобразование Лапласа:
(
) ( )
( )
( )
( )
,
2
2
sU s
mLs
s FsX sXsmM
=Φ −
+
+
(30.11)
( )
( )
( )
.0
2
2 2
=Φ −
−Φ
+
s
mgL sX mLs
s s mL J
(30.12)
где
( )
sX
,
( )
s
Φ
и
( )
sU
– изображение по Лапласу функций
( )
tx
,
( )
t
ϕ
и
( )
tu
соответственно. Решив уравнение (30.12) относительно
( )
sX
и подставив
полученное выражение в (30.11), получим:
( ) (
)
( )
.
2
2
2
2
2
2
sU mLs
s
s
g
mL
mL JF s
s
g
mL
mL JmMs
=
−
−
+
+
−
+
+
Φ
(30.13)
Искомая передаточная функция системы имеет вид:
