69
2
2
2
2
φ
φ
2
x
x
z
z
xz
u
g u
f
u
z x z
x z x z x
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
= + = + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
или
2
2
φ
2
2
x
xz
z
g u
f
z
x
z
∂
∂
∂
= + +
∂ ∂
∂
(2.93)
Согласно (2.86)
(
)
(
)
φ 1
Ψ
2
2
2 1 σ
2 1 σ
y
y
z
z
z
z
g
g
g
g
z
f
f
z
x y
z x y
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=−
+ + −
+ + +
∂
− ∂ ∂
− ∂ ∂ ∂
∂
.
Поскольку на границе
z
=0, то
(
)
0
φ
1
Ψ
2
2
2 1 σ
y
z
z
z=
g g
f
z
x y
z
∂
∂
∂
∂
=−
+ + +
∂
− ∂ ∂
∂
. (2.94)
Подставляя (2.94) в (2.93), получим
(
)
2
2
1
Ψ
2
2
2 1 σ
y
x
z
xz
z
z
g
g
g
u
f
f
z
x
x y
z
∂
∂
∂
∂
∂
= + −
+ + +
∂ ∂
− ∂ ∂
∂
или
(
) (
)
2
2
1
Ψ
2
1 2σ
2
2 1 σ
y
x
x
xz
z
g
g
g
u
f
z
x
x y
z
∂
∂
∂
∂
∂
= +
− − − +
∂ ∂
−
∂ ∂
∂
,
или
2
2
2
x
xz
g W
u
z
x
∂ ∂
= +
∂ ∂
, (2.95)
где
(
) (
)
1
Ψ
1 2σ
2
2 1 σ
y
x
z
g g
W=
f
x y
z
∂
∂
∂
− − − +
−
∂ ∂
∂
. (2.96)
С учётом (2.95) равенство (2.89) приводится к виду
(
)
2
2 0
0
2 1 σ
x
x
z=
z=
g
W
P
z
x
E
+
∂
∂+
=−
∂
∂
. (2.97)
Аналогичным путём на основе равенств (2.90) и (2.91)получим
(
)
2
2 0
0
2 1 σ
y
y
z=
z=
g
W
P
z
y
E
∂
+
∂+
=−
∂
∂
, (2.98)
(
)
0
2 1 σ
Ψ2
y
x
z
z
z=
g g f
P
z
x y
z
E
∂
+
∂
∂
∂
− − +
=−
∂
∂ ∂ ∂
. (2.99)
Формулы, с помощью которых введены величины
g
x
,
g
y
,
f
z
,
ψ
, не опре-
деляют их однозначно. Дополнительным условием, связывающим эти величи-
ны, может служить равенство
(
) (
)
1
Ψ
1 2σ
2 0
2 1 σ
y
x
z
g g
W=
f
x y
z
∂
∂
∂
− − − + =
−
∂ ∂
∂
, (2.100)
учёт которого упрощает равенства (2.97) и (2.98):
